Java Math.log() 與 Math.exp()

Math.log() 計算自然對數，Math.exp() 計算指數（e 的次方）。

Math.exp() 指數

// e 的次方
System.out.println(Math.exp(0));   // 1.0（e⁰ = 1）
System.out.println(Math.exp(1));   // 2.7182...（e¹ = e）
System.out.println(Math.exp(2));   // 7.389...（e²）

// 自然常數 e
System.out.println(Math.E);        // 2.718281828459045

Math.log() 自然對數

// 自然對數（以 e 為底）
System.out.println(Math.log(1));       // 0.0（ln(1) = 0）
System.out.println(Math.log(Math.E));  // 1.0（ln(e) = 1）
System.out.println(Math.log(10));      // 2.302...

// 特殊情況
System.out.println(Math.log(0));       // -Infinity
System.out.println(Math.log(-1));      // NaN

Math.log10() 常用對數

// 以 10 為底的對數
System.out.println(Math.log10(1));     // 0.0
System.out.println(Math.log10(10));    // 1.0
System.out.println(Math.log10(100));   // 2.0
System.out.println(Math.log10(1000));  // 3.0

Math.log1p() 與 Math.expm1()

// log1p(x) = log(1 + x)，對小數更精確
System.out.println(Math.log1p(0.0001));  // 更精確

// expm1(x) = exp(x) - 1，對小數更精確
System.out.println(Math.expm1(0.0001));  // 更精確

計算任意底數的對數

// 換底公式：logₐ(b) = ln(b) / ln(a)
public static double logBase(double base, double value) {
    return Math.log(value) / Math.log(base);
}

System.out.println(logBase(2, 8));    // 3.0（log₂(8) = 3）
System.out.println(logBase(2, 16));   // 4.0（log₂(16) = 4）
System.out.println(logBase(10, 100)); // 2.0（log₁₀(100) = 2）

實用範例

計算位數

public static int digitCount(int n) {
    if (n == 0) return 1;
    return (int) Math.floor(Math.log10(Math.abs(n))) + 1;
}

System.out.println(digitCount(12345));  // 5
System.out.println(digitCount(100));    // 3

複利計算（要幾年翻倍）

public static double yearsToDouble(double annualRate) {
    // 使用自然對數：t = ln(2) / ln(1 + r)
    return Math.log(2) / Math.log(1 + annualRate);
}

System.out.printf("年利率 7%% 需要 %.1f 年翻倍%n", yearsToDouble(0.07));  // 10.2 年

// 72 法則驗證
System.out.println(72.0 / 7);  // 10.3（近似值）

pH 值計算

// pH = -log₁₀[H⁺]
public static double calculatePH(double hydrogenConcentration) {
    return -Math.log10(hydrogenConcentration);
}

System.out.println(calculatePH(0.0000001));  // 7.0（中性）
System.out.println(calculatePH(0.001));      // 3.0（酸性）

資訊熵計算

// 二進制熵
public static double binaryEntropy(double p) {
    if (p <= 0 || p >= 1) return 0;
    return -(p * Math.log(p) + (1 - p) * Math.log(1 - p)) / Math.log(2);
}

System.out.println(binaryEntropy(0.5));  // 1.0（最大熵）
System.out.println(binaryEntropy(0.1));  // 0.469...

重點整理

• Math.exp(x) 計算 eˣ
• Math.log(x) 計算自然對數 ln(x)
• Math.log10(x) 計算常用對數 log₁₀(x)
• 任意底數對數使用換底公式
• Math.E 提供自然常數 e
• log1p() 和 expm1() 對小數計算更精確